Студ

Library

Экономико-математические методы и прикладные модели















Контрольная работа

по дисциплине:

Экономико-математические методы и прикладные модели


1. Решите графическим методом задачу линейного программирования

экономический математический линейный программирование

Найти максимум и минимум функции f(X) при заданных ограничениях.


f(x1,x2) = 2x1+x2® max, min1+x2 ³ 3

x1 + 3x2 £ 15

x1 - 2,5x2 £ 10

£x2£4

x1³0


. Построим ОДР задачи (рис. 1).

Прямые ограничения означают, что область решений будет лежать в первой четверти Декартовой системы координат.

Функциональные ограничения (неравенства) определяют область, являющуюся пересечением нижних полуплоскостей с граничными прямыми:


x1+x2 = 3

x1 + 3x2 = 15

x1 - 2,5x2 = 10

x2 = 4


Пересечение указанных полуплоскостей в первой четверти представляет собой многоугольник OBFCDAE (заштрихованная общая область для всех ограничений задачи ОДР).

. Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент, соединив его вершину Ñ(2,1) с началом координат О (0,0).

. Построим некоторую линию уровня 2x1 + 1x2 = а. Пусть, например, а = 0. На рис.1 такой линии уровня отвечает прямая Х, перпендикулярная вектор-градиенту.

. При максимизации ЦФ необходимо перемещать линию уровня Х в направлении вектор-градиента, а при минимизации - в противоположном направлении. Предельными точками при таком движении линии уровня Х являются соответственно точка A и точка B. Далее она выходит из ОДР.



Определим координаты точки A, являющейся точкой пересечения третьей прямой и оси абсцисс:


x1 - 2,5x2 = 10

х2 = 0

х1 = 5


Таким образом, ЦФ в ЗЛП принимает при х1 = 5; x2 = 0 максимальное значение, равное f(x1, х2) = 5´2 + 0´1 = 10.

Определим координаты точки В, являющейся точкой пересечения первой прямой и оси ординат:


x1+x2 = 3

х1 = 0

х2 = 3


Таким образом, ЦФ в ЗЛП принимает при х1 = 0; x2 = 3 минимальное значение, равное f(x1, х2) = 0´2 + 3´1 = 3.


. Решите симплекс-методом задачи линейного программирования


min f(X) = x1 - 4x21 + x2 ? 5

x1 - x2 ? 3

x1,2 ? 0


Решение После приведения к канонической форме получим

(X)=x1 -4x2 +0*x3 +0*x4 максимизируется


Ограничения приобрели следующую форму:


*x1 +1*x2 +1*x3 +0*x4 =5

*x1 -1*x2 +0*x3 +1*x4 =3


В результате получим следующую симплекс-таблицу:


Ci/CjBБазисА1А2А3А4Q05А31110503А43-1011дельта-140004А301,333331-0,3333311А11-0,3333300,33333дельта103,6600,33

Решение достигнуто при х1 = 1 и х2 = 0 и равно 1.

Решите задачу симплекс-методом

max f(X) = (x1 - 24x2 + 12x3)

x1 - 3x2 + 2x3 ? 1

x1 + 4x2 - x3 ? 2

x1,2,3 ? 0


Решение

После приведения к канонической форме получим

(X)=1*x1 -24*x2 +12*x3 +0*x4 +0*x5 +0*x6 максимизируется


Ограничения приобрели следующую форму:


*x1 -3*x2 +2*x3 +1*x4 +0*x5 +0*p1 =1

*x1 +4*x2 - 1*x3 +0*x4 -1*x5 +1*p1 =2


В результате получим следующую симплекс-таблицу:


Ci/CjBБазисА1А2А3А4А5P1Q01А4-1-32100-0,333333333333333-m2P1-14-10-110,5дельтаm-1-4m+24m-120m002,5А4-1,7501,251-0,7502-240,5А2-0,251-0,250-0,250-2дельта50-6060122А3-1,39999010,8-0,599990-1,42857142857143-241А2-0,59999100,2-0,40-1,66666666666667дельта-3,4004,82,40

Решения нет, так как Q<0


3. Используйте аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана ЗЛП


Для изготовления трех видов продукции используют четыре вида ресурсов. Запасы ресурсов, нормы расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.


Вид ресурсовНормы расхода ресурсов на ед. продукцииЗапасы ресурсовI видII видIII видТруд3642000Сырье 120152015000Сырье 21015207400Оборудование0351500Цена изделия6109

При решении задачи на максимум общей стоимости выпускаемой продукции (вся готовая продукция реализуется) были получены следующие результаты: X1 = 520, X2 = 0, X3 = 110.

Требуется:

) сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум общей стоимости выпускаемой продукции, пояснить нулевые значения X2;

) сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план;

) проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане;

) определить, как изменятся общая стоимость продукции и план ее выпуска при увеличении запаса сырья 1 на 24 ед.;

) определить целесообразность включения в план изделия четвертого вида ценой 11 ед., если нормы затрат ресурсов 8, 4, 20 и 6 ед.

Решение

Обозначим через хj, j =1,3- объем выпуска продукции j-го вида и запишем математическую модель задачи критерию «максимум прибыли»:


max (6x1+10x2 + 9x3)

x1 + 6х2 + 4х3 £ 2000

x1 + 15х2 + 20х3 £ 15000

x1 + 15х2 + 20х3 £ 7400

х2 + 5х3 £ 1500

xj³0, j=1,2,3.


В этой модели функциональные ограничения отражают условия ограниченности объемов используемых в производстве ресурсов.

Проверим, как удовлетворяется система функциональных ограничений оптимальным планом X* = (x1 = 520,x2 = 0,х3 = 110) :

*520 + 6*0 + 4*110 = 2000

20*520 + 15*0 + 20*110 =12600 < 15000

10*520 + 15*0 + 20*110 = 7400

*0 + 5*110 =550 < 1500

Значение целевой функции на этом плане равно

f(X) = 6x520 + 10x0 + 9x110 = 4110.

Двойственная задача имеет вид:


min (2000y1+15000y2 +7400у3+1500y4)

у1+20y2+10y3³6

y1+15y2+15y3+3y4³10

y1+20y2+20y3+5y4³9

y1,2,3,4³0.


Для нахождения оценок у1, у2, у3 используем вторую теорему двойственности. Поскольку второе и четвертое ограничения в (*) выполняется как строгое неравенство, то у2 = 0, у4 = 0. Так как х1 > 0 и x3 > 0, то:

y1* + 20y2* + 10y3* - 6 = 0

y1*+ 20y2* + 20y3*+5y4* - 9 = 0.


Итак, для получения двойственных оценок имеем систему линейных уравнений:


y2* = 0

y4* = 0

y1* + 20y2* + 10y3* = 6

y1*+ 20y2* + 20y3*+5y4* = 9.

т.е. y1* =3/2, y2* = 0, y3* = 3/20, y4* = 0.


Вычислим значение целевой функции двойственной задачи:


y1+15000y2 +7400у3+1500y4

j(Y) = 2000x3/2 + 15000x0 + 7400x3/20 + 1500x0 = 4110, т.е. f(X*) = j(Y*) = 4110.


По первой теореме двойственности мы можем утверждать, что действительно найдены оптимальные значения двойственных переменных.

Экономико-математический анализ оптимальных решений базируется на свойствах двойственных оценок. В пределах устойчивости двойственных оценок имеют место следующие свойства.

. Величина двойственной оценки того или иного ресурса показывает насколько возросло бы максимальное значение целевой функции, если бы объем данного ресурса увеличился на одну единицу (двойственные оценки измеряют эффективность малых приращений объемов ресурсов в конкретных условиях данной задачи).

В рассматриваемом примере увеличение фонда труда на 1 час привело бы к росту максимальной суммы прибыли на 1,5 (у1 = 3/2), а увеличение сырья 2 не повлияет на оптимальный план выпуска продукции и сумму прибыли.

Сказанное позволяет выявить направления «расшивки» узких мест, обеспечивающие получение наибольшего экономического эффекта, а также целесообразность изменения в структуре выпуска продукции с позиций общего оптимума.

. Двойственные оценки отражают сравнительную дефицитность различных видов ресурсов в отношении принятого в задаче показателя эффективности. Оценки показывают, какие ресурсы являются более дефицитными (они будут иметь самые высокие оценки), какие менее дефицитными и какие совсем недефицитны (избыточны).

В данном примере недефицитным ресурсом является сырье 1 поскольку у2 = 0 и оборудование, поскольку y4=0.

Острее ощущается дефицитность труда (у1 = 3/2) - он более дефицитен, чем сырье 2 (у3= 3/20).

. Двойственные оценки позволяют определять своеобразные «нормы заменяемости ресурсов»: имеется в виду не абсолютная заменяемость ресурсов, а относительная, т.е. заменяемость с точки зрения конечного эффекта и лишь в конкретных условиях данной задачи.

В нашем примере относительная заменяемость ресурсов определяется соотношением (нормой) 3/20 : 3/2 = 1:10.

. Двойственные оценки служат инструментом определения эффективности отдельных хозяйственных решений (технологических способов), с их помощью можно определять выгодность производства новых изделий, эффективность новых технологических способов:

если - выгодно,

если Dj > 0 - невыгодно.

Предположим в рассматриваемом примере следует решить вопрос о целесообразности включения в программу изделия четвертого вида ценой 11 ед., если нормы затрат ресурсов 8, 4, 20 и 6 ед.

С учетом сказанного будем иметь в двух рассматриваемых случаях:

*3/2+4*0+20*3/20+6*0-11 = 4>0 - невыгодно расширение ассортимента;

Ответим на вопрос, как изменится объем выпуска продукции и прибыль от ее реализации, сырье 1 увеличится на 24 ед.

Предполагая, что эти изменения проходят в пределах устойчивости двойственных оценок имеем:

x1 + 15*0 + 20х3 = 15024

Отсюда определяется что в новых производственных условиях задача решения не имеет, то есть прибыль не изменится, а сырья 1 будет при этом избыток.


. Задача


Оптовый склад обслуживает 30 предприятий-потребителей материалов. Каждое из предприятий направляет на склад автомашину в среднем один раз в смену (смена - 8 ч). Средняя продолжительность погрузки одной автомашины составила 48 мин, т.е. 0,1 смены. Погрузка осуществляется кранами. Потери склада, связанные с простоем крана (включая крановщика и стропальщиков) из-за отсутствия автомашин, равны 5 у.е./ч.

Прибывшая на склад автомашина становится в очередь, если все краны заняты погрузкой других автомашин. При этом склад оплачивает предприятиям расходы, связанные с простоем на складе их автомашин и шоферов в очереди под погрузку, из расчета 2,6 у.е. за час простоя автомашины и шофера.

Отсюда следует m=30, l=1, tоб=0,1.

Определите:

) оптимальное количество необходимых складу кранов, при котором суммарные ожидаемые потери склада, связанные с простоем кранов (из-за отсутствия автомашин) и простоем автомашин в очереди, были бы минимальными;

) коэффициент простоя крана;

) среднее число автомашин, находящихся в очереди (длину очереди);

) коэффициент и среднее время простоя автомашины в очереди.

Решение

Так как из условия следует, что для полного обслуживания 30 машин требуется как минимум 3 крана, то при расчетах количества кранов n примем n от 3 до 7. Получим:

При n=3 рассчитаем Pk при k от 0 до 30 по формулам


Pk= akP0, (1 £ k £ n),

где и

Pk=akP0, (n£k£m),

где


Затем, так как



то мы найдем, что P0=1/28,97257374=0,034515401.

Отсюда найдем P1-30 и по формуле


,

где


найдем коэффициент простоя автомобиля.

Далее по формуле


,

где


найдем коэффициент простоя крана. Тогда потери от простоя кранов и автомашин будут равняться 2,6´30´a1+5´n´a3=7,68 у.е.


kPk*p0Pk(k-n)Pk(n-k)Pk010,03451500,103546130,10354600,20709224,350,15014200,15014234,060,1401330043,6540,1261190,126119053,16680,1093030,218607062,6390,0910860,273258072,11120,0728690,291476081,6185866670,0558660,279331091,1869635560,0409690,2458110100,8308744890,0286780,2007460110,5539163260,0191190,1529490120,3508136730,0121080,1089760130,2104882040,0072650,0726510140,1192766490,0041170,0452860150,0636142130,0021960,0263480160,0318071060,0010980,0142720170,0148433160,0005120,0071730180,0064321040,0002220,003330190,0025728418,88E-050,0014210200,0009433753,26E-050,0005540210,0003144581,09E-050,0001950229,43375E-053,26E-066,19E-050232,51567E-058,68E-071,74E-050245,86989E-062,03E-074,25E-060251,17398E-064,05E-088,91E-070261,95663E-076,75E-091,55E-070272,60884E-089E-102,16E-080282,60884E-099E-112,25E-090291,73923E-106E-121,56E-100305,79742E-122E-135,4E-120Сумма28,97257374Коэф. Прост. Автом.0,068953Коэф. Прост. Кранов0,153594l1n3m30tоб0,1P00,034515401Потери7,682228263средняя длина очереди2,068586634Среднее время простоя требования в очереди на обслуживание0,068952888kPk*p0Pk(k-n)Pk(n-k)P010,05122600,204905130,15367900,46103624,350,22283400,44566834,060,20797800,20797842,74050,1403850051,7813250,0912510,091251061,1133281250,0570320,114063070,6679968750,0342190,102657080,3840982030,0196760,078704090,2112540120,0108220,0541090100,1109083560,0056810,0340880110,0554541780,0028410,0198850120,0263407350,0013490,0107950130,0118533310,0006070,0054650140,0050376650,0002580,0025810150,0020150660,0001030,0011350160,000755653,87E-050,0004650170,0002644771,35E-050,0001760188,59552E-054,4E-066,16E-050192,57866E-051,32E-061,98E-050207,0913E-063,63E-075,81E-060211,77283E-069,08E-081,54E-060223,98886E-072,04E-083,68E-070237,97771E-084,09E-097,76E-080241,3961E-087,15E-101,43E-080252,09415E-091,07E-102,25E-090262,61769E-101,34E-112,95E-100272,61769E-111,34E-123,08E-110281,96327E-121,01E-132,41E-120299,81633E-145,03E-151,26E-130302,45408E-151,26E-163,27E-150Сумма19,52125277Коэф. Прост. Автом.0,017182Коэф. Прост. Кранов0,329897l1n4m30tob0,1P00,051226221Потери7,938138029средняя длина очереди0,515461855Среднее время простоя требования в очереди на обслуживание0,017182062

Аналогично рассчитаем суммы потерь для n=4,5,6,7 (данные в таблицах).

n=4

n=5


kPk*p0Pk(k-n)Pk010,05585300,279265130,16755900,67023624,350,2429600,72888134,060,22676300,45352642,74050,15306500,15306551,425060,0795940060,712530,0397970,039797070,34201440,0191030,038205080,1573266240,0087870,026361090,0692237150,0038660,0154650100,029073960,0016240,0081190110,0116295840,000650,0038970120,0044192420,0002470,0017280130,0015909278,89E-050,0007110140,0005409153,02E-050,0002720150,0001730939,67E-069,67E-050165,19279E-052,9E-063,19E-050171,45398E-058,12E-079,75E-060183,78035E-062,11E-072,74E-060199,07284E-075,07E-087,09E-070201,99602E-071,11E-081,67E-070213,99205E-082,23E-093,57E-080227,18569E-094,01E-106,82E-090231,14971E-096,42E-111,16E-090241,60959E-108,99E-121,71E-100251,93151E-111,08E-122,16E-110261,93151E-121,08E-132,27E-120271,54521E-138,63E-151,9E-130289,27126E-155,18E-161,19E-140293,7085E-162,07E-174,97E-160307,41701E-184,14E-191,04E-170Сумма17,90415386Коэф. Прост. Автом.0,00449Коэф. Прост. Кранов0,456995l1n5m30tob0,1P00,055852961Потери11,77507748средняя длина очереди0,134697983Среднее время простоя требования в очереди на обслуживание0,004489933=6


kPk*p0Pk(k-n)Pk010,05698500,341908130,17095400,85476924,350,24788300,99153234,060,23135800,69407342,74050,15616600,31233351,425060,08120600,08120660,5937750,0338360070,237510,0135340,013534080,09104550,0051880,010376090,033383350,0019020,0057070100,0116841730,0006660,0026630110,0038947240,0002220,001110120,0012333297,03E-050,0004220130,0003699992,11E-050,0001480140,0001048335,97E-064,78E-050152,79555E-051,59E-061,43E-050166,98887E-063,98E-073,98E-060171,63074E-069,29E-081,02E-060183,53326E-072,01E-082,42E-070197,06652E-084,03E-095,23E-080201,29553E-087,38E-101,03E-080212,15921E-091,23E-101,85E-090223,23882E-101,85E-112,95E-100234,31843E-112,46E-124,18E-110245,03817E-122,87E-135,17E-120255,03817E-132,87E-145,45E-130264,19847E-142,39E-154,78E-140272,79898E-151,59E-163,35E-150281,39949E-167,97E-181,75E-160294,66497E-182,66E-196,11E-180307,77495E-204,43E-211,06E-190Сумма17,54859792Коэф. Прост. Автом.0,001134Коэф. Прост. Кранов0,54597l1n6m30tob0,1P00,05698461Потери16,46757489средняя длина очереди0,034027493Среднее время простоя требования в очереди на обслуживание0,00113425=7


kPk*p0Pk(k-n)Pk010,05724200,400696130,17172701,03036224,350,24900401,24502134,060,23240400,92961542,74050,15687300,47061851,425060,08157400,16314760,5937750,03398900,03398970,203580,0116530080,0668905710,0038290,003829090,0210227510,0012030,0024070100,0063068250,0003610,0010830110,001801950,0001030,0004130120,0004891012,8E-050,000140130,0001257697,2E-064,32E-050143,05438E-051,75E-061,22E-050156,98145E-064E-073,2E-060161,49602E-068,56E-087,71E-070172,99205E-071,71E-081,71E-070185,55666E-083,18E-093,5E-080199,52571E-095,45E-106,54E-090201,4969E-098,57E-111,11E-090212,13842E-101,22E-111,71E-100222,7494E-111,57E-122,36E-110233,14217E-121,8E-132,88E-120243,14217E-131,8E-143,06E-130252,69329E-141,54E-152,78E-140261,92378E-151,1E-162,09E-150271,0993E-166,29E-181,26E-160284,7113E-182,7E-195,66E-180291,34609E-197,71E-211,7E-190301,92298E-211,1E-222,53E-210Сумма17,46959135Коэф. Прост. Автом.0,000264Коэф. Пр. Кранов0,610493l1n7m30tob0,1P00,057242324Потери21,38786196средняя длина очереди0,007931Среднее время простоя требования в очереди на обслуживание0,000264367

В результате анализа данных получим, что минимальная сумма потерь будет равна 7,68 у. е. при n=3. Тогда коэффициент простоя крана будет равен 0,153594, длина очереди 2,068586634 (рассчитывается по формуле ), коэффициент простоя автомашины в очереди 0,068953, среднее время простоя автомашины в очереди 0,068952888 (рассчитывается по формуле ).